Фамилия Бадыка — редкий случай, когда прозвище стало фамилией почти без изменений, сохранив исходную форму. В ней нет типичных русских фамильных суффиксов (-ов, -ин, -ский), что сразу указывает: перед нами не «сын Бадыки», а сам человек, которого так прозвали. Такие «голые» фамилии (без патронимического суффикса) характерны для украинской, белорусской и южнорусской традиции, а также для некоторых казачьих областей.

Корень слова — «бадык», «бадик» или «бадыга». В южнорусских говорах и украинском языке «бадик» — это посох, трость, клюка. Отсюда и прозвище: Бадыкой могли назвать человека, который ходил с палкой, опирался на посох при ходьбе, либо того, кто изготавливал такие трости. В переносном смысле — медлительного, неуклюжего человека, который «ходит, как с бадыком». Есть и вторая версия: в некоторых диалектах «бадыкать» значит «болтать», «пустословить», так что прозвище могло пристать к говорливому человеку.

Фамилия встречается в основном на западе России (Брянская, Смоленская области), в Беларуси и на востоке Украины — как раз в зоне распространения слова «бадик». Иногда её путают с фамилией Бадыгин, но та образована от другого корня: «бадыга» — водное растение или старая вещь.

С точки зрения словообразования интересно, что фамилия осталась в начальной форме. Если бы её носитель жил севернее, скорее всего, получился бы Бадыкин или Бадыков. Но южная традиция фиксировала прозвище как есть, и оно стало наследственным. По сословной принадлежности предки Бадыки — скорее всего, крестьяне или казаки, поскольку прозвища по бытовым предметам и чертам характера давали именно в этих средах.