Фамилия Баёк — редкий случай, где разбор упирается не в суффикс или географию, а в прозвищную основу «бай». В белорусском языке слово «бай» означает «пустомеля, сказочник». Скорее всего, именно так — Баёк — прозвали чрезмерно говорливого человека, любителя травить байки и придумывать истории на ходу. Прозвище закрепилось за родом и перешло в фамилию, сохранив память о живом, общительном предке.

Версия с украинским «бай» — «спать» — менее правдоподобна. По ней Байком называли соню, ленивого мужчину, который предпочитал долго отдыхать. Но семантика «сказочника» и «пустомели» встречается в источниках чаще и выглядит естественнее для прозвища. Тюркское «бай» — «богатый человек, крупный землевладелец» — тоже стоит упомянуть, хотя вероятность низкая: тогда фамилия указывала бы на социальный статус или род занятий, но для славянской среды такое заимствование маловероятно без дополнительных следов тюркского влияния в регионе.

Форма Баёк образована с уменьшительным суффиксом -ок, что типично для прозвищ: он придаёт оттенок фамильярности или иронии. Так говорили не просто «Баёк», а, возможно, «маленький сказочник» или «байка-парень». Фамилия редкая, её носители могли происходить из западных регионов, где белорусское влияние было сильным. Семейная история здесь — не в дворянских грамотах или переписях, а в слове, которое когда-то метко описал характер человека.