Фамилия Багашев — одна из тех, где за простым звучанием скрывается неочевидная основа. Чтобы понять её происхождение, нужно отбросить привычное ожидание «русского» корня и присмотреться к тюркским языкам. Самая вероятная версия: в основе фамилии лежит тюркское слово «бага» или «багъа» — «лягушка». Прозвище Бага, а затем и фамилия Багашев могли закрепиться за человеком с какими-то особенностями внешности или поведения, которые напоминали эту амфибию, — скажем, за любителем болотистых мест или обладателем широкого рта и выпуклых глаз. В русских говорах такое прозвище не было редкостью, особенно в регионах, где русские плотно контактировали с татарами, башкирами или чувашами.

Разберём словообразовательную модель. Суффикс -ев указывает на патронимическое происхождение: Багашев — сын Багаша. А Багаш — это уже русская переделка тюркского прозвища Бага с помощью уменьшительного суффикса -ш (как, например, от «балда» — Балдаш). То есть фамилия прошла двойную обработку: сначала тюркское слово обрусело в прозвище, а потом от него образовали отчество. Важно не путать с фамилией Багаев, которая восходит к тому же корню, но с другим суффиксом: там основа — просто «Бага», без уменьшительного -ш.

Встречается фамилия Багашев преимущественно в Поволжье и на Урале — в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской и Челябинской областях. Это неудивительно: именно там веками жили тюркские народы, и русские фамилии с тюркскими корнями — обычное дело. В дореволюционных переписях Багашевы часто записаны среди государственных крестьян, но попадались и среди казаков. Дворянского герба у этой фамилии не было, что тоже типично для прозвищ, возникших в крестьянской или мещанской среде.

Есть и другая, менее вероятная версия: от имени Багаш — варианта крестильного имени Варлаам или Варфоломей в тюркской среде. Но она слабая, потому что имя Багаш не зафиксировано в святцах, а переделывать греческие имена в «лягушачьи» у крещёных татар не было причин. Так что лягушка остаётся главным кандидатом.