Фамилия Багашева — женская форма фамилии Багашев, и её происхождение стоит искать в мужском прозвище или имени предка. Основа фамилии — «Багаш», слово, которое имеет несколько возможных корней, и здесь важно не переборщить с версиями, а выделить самую вероятную.

Самый правдоподобный вариант — тюркское происхождение. В татарском, башкирском и других тюркских языках слово «багаш» или «багач» могло означать «взгляд», «взор», а также «глаз». Прозвище Багаш могли дать человеку с выразительными глазами, зоркому или, напротив, с каким-то дефектом зрения. Такие прозвища по внешним признакам — частый случай в русской ономастике, особенно на территориях, где русские соседствовали с тюркскими народами (Поволжье, Урал, Сибирь). Суффикс «-ев» указывает на принадлежность: «чей?» — «Багашев», то есть сын или потомок Багаша.

Менее вероятная, но возможная версия — от калмыцкого имени Багаш, которое восходит к слову «бага» — «маленький», «младший». В этом случае прозвище могли дать младшему сыну в семье или невысокому человеку. Встречается фамилия и у русских, и у татар, и у калмыков, что говорит о её сложной этнической истории.

В русских говорах слово «багаш» не зафиксировано, поэтому бытовая русская основа маловероятна. Фамилия довольно редкая, и её география тяготеет к регионам с тюркским населением — Татарстану, Башкортостану, Оренбургской области. Если ваши предки носили фамилию Багашев, скорее всего, они происходили из крестьян или казаков этих мест, и фамилия закрепилась за ними в XVII–XIX веках при переписях, когда прозвище стало передаваться по наследству.