Фамилия Багатели — одна из тех, что ставит исследователя в тупик с первого взгляда. Она не укладывается в привычные русские модели на -ов, -ин или -ский. Её окончание -и наводит на мысль о польском или украинском происхождении (сравните фамилии типа Ковали, Гули), но корень здесь явно нерусский и невосточнославянский. Самое вероятное объяснение — фамилия образована от прозвища, данного человеку, который имел отношение к музыке или театру. Слово «багатель» (от французского bagatelle — «безделица, пустяк») в XVIII-XIX веках обозначало небольшую музыкальную пьесу лёгкого, непритязательного характера. Такое прозвище мог получить музыкант, композитор или просто любитель сочинять и исполнять короткие мелодии.

Суффикс -и в данном случае характерен для фамилий, оформленных по модели родительного падежа множественного числа: «из семьи Багателей». Такая модель типична для украинской, белорусской и польской ономастики, где фамилии на -и (или -ы) встречаются повсеместно. Следовательно, носитель фамилии, скорее всего, происходил из западных или юго-западных регионов Российской империи — из Малороссии, Белоруссии или Царства Польского. Там прозвище, связанное с европейской культурой, могло закрепиться быстрее, чем в центральной России.

Менее вероятная, но не исключённая версия — связь с итальянским словом bagattella (также «пустяк»). В итальянских диалектах это слово могло означать мелкую монету или предмет торга. Тогда прозвище Багатель мог получить торговец мелочью, коробейник или человек, который «менял шило на мыло». Однако фонетический облик фамилии (ударение, скорее всего, на последний слог — Багате́ли) ближе к французскому произношению, чем к итальянскому.

В русском контексте фамилия Багатели — редкий гость. Её нет в массовых списках крестьянских или мещанских фамилий XIX века. Это говорит о том, что род мог быть немногочисленным, возможно, дворянским или интеллигентским — то есть таким, где ценили музыкальное образование. Встретить её можно скорее в архивах городов западных губерний — Киева, Вильно, Варшавы, — чем в переписях крестьян Вологодчины.

Однокоренных фамилий в русском языке практически нет, что подчёркивает её иноязычную изолированность. Если ваши предки носили фамилию Багатели, велика вероятность, что среди них был человек, связанный с искусством, — музыкант, капельмейстер или просто острослов, которого за лёгкость нрава прозвали «безделицей».