Фамилия Багив — редкая и нестандартная для русского уха. В ней нет привычных суффиксов -ов, -ев или -ин, которые сразу указывают на отчество. Окончание -ив наводит на мысль о восточном или кавказском происхождении, и это первое, на что стоит обратить внимание.

Скорее всего, фамилия Багив — русифицированная форма грузинской или осетинской фамилии. В грузинском языке распространены фамилии на -швили, -дзе, -иа, -ава, но есть и более редкие на -иви (например, Багиви). При переезде в русскоязычную среду окончание могли подогнать под местные стандарты: отсекли грузинское -и и добавили -в, получив Багив. Основа «баги» может восходить к грузинскому слову «баги» — «сад». Тогда предок был садовником или владельцем сада. В осетинском языке «баг» означает «сад», а суффикс принадлежности даёт фамилию Багиты, которая также могла трансформироваться в Багив.

Вторая версия, менее вероятная, но возможная — фамилия образована от тюркского имени Баги или Багый. У тюркских народов это имя могло означать «крепкий», «сильный» или быть производным от «бага» (лягушка) — в таком случае прозвище давали по внешнему сходству или профессии (ловец лягушек). Однако в тюркских языках фамилии обычно оформляются суффиксами -ов/-ев, поэтому Багив без суффикса выглядит как исключение, которое могло возникнуть при записи на слух.

Географически фамилия встречается в основном на Северном Кавказе и в Закавказье, реже — в центральной России, куда её могли привезти переселенцы или потомки грузинских дворян, выехавших в Российскую империю. Сословная принадлежность неясна: носители могли быть как крестьянами, так и выходцами из мелкопоместного дворянства Грузии.

Известных носителей с такой фамилией в открытых источниках нет — это говорит о её редкости. Если вы встретили Багива в своём роду, скорее всего, корни ведут на Кавказ, а предок занимался садоводством или носил личное имя Баги.