Фамилия Баглай — один из тех случаев, когда за одним звучанием стоит несколько совершенно разных историй, и выбрать единственную версию сложно. Самая вероятная и красивая версия ведет на Кавказ, к карачаево-балкарскому слову «багъалы» — «бесценный, желанный». Скорее всего, так в тюркской семье называли долгожданного, вымоленного ребенка. Это имя-пожелание, которое со временем закрепилось как фамилия.

Есть и другой тюркский след — от татарского глагола «баглау» («связывать, связать»). В этом случае прозвище Баглай мог получить человек, занимавшийся вязкой снопов, плетением или, в переносном смысле, тот, кто «связывал» людей, например, судья или посредник.

Совсем иной, бытовой смысл фамилия приобретает, если заглянуть в курские говоры. Там Баглаем называли лентяя, дармоеда, лежебоку. Прозвища такого рода были распространены по всей России: не для того, чтобы обидеть человека, а чтобы выделить его характерную черту, часто с долей иронии.

С точки зрения словообразования, фамилия представляет собой чистую основу без типичных русских суффиксов (-ов, -ин, -ский). Это указывает на её сравнительно позднее закрепление или на происхождение из среды, где фамилии оформлялись иначе (например, у тюркских народов). Фамилия Баглай не склоняется по падежам, если принадлежит женщине, и склоняется, если мужчине.

Среди известных носителей — Марат Викторович Баглай (родился 13 марта 1931 года), занимавший пост председателя Конституционного суда Российской Федерации с 1997 по 2003 год. Его фамилия — яркий пример того, как слово, означавшее когда-то «бесценный» или «лежебока», стало частью официальной истории государства.