Фамилия Бахишев — редкий пример, где исходное слово почти стёрто из современного языка, но сохранилось в географических названиях и диалектах. Её основа — «бахиш» или «бахыш», слово тюркского происхождения, которое в разных языках (азербайджанском, татарском, башкирском) означает «подарок», «дар», «вознаграждение». В некоторых говорах «бахыш» — это ещё и «счастье», «удача». Так что прямое значение фамилии — «сын подарка» или «сын счастливца», где суффикс -ев указывает на принадлежность.

В русской ономастике фамилия Бахишев стоит особняком: суффикс -ев типичен для русских фамилий, образованных от основ на мягкий согласный или -й, но корень явно нерусский. Это говорит о том, что фамилия сформировалась в среде, где тюркские имена и прозвища адаптировались к русской модели. Встречается она преимущественно в Поволжье и на Урале — в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской области, а также среди астраханских татар. Редкость фамилии (в России её носят не более нескольких сотен человек) указывает на локальное происхождение, возможно, от одного родоначальника, которого прозвали Бахиш за щедрость или счастливую судьбу.

Интересно, что в тюркской антропонимике есть параллельная форма — Бахишев, которая встречается и как армянская фамилия (с тем же корнем, но через армянское посредничество). Однако для русской версии более вероятна прямая связь с тюркским прозвищем: предок мог быть человеком, получившим землю или должность в дар, либо просто удачливым. Судя по окончанию -ев, фамилия закрепилась в русском документообороте не позднее XVIII века, когда крестьян и мещан из нерусских народов начали массово записывать по отчеству с русскими суффиксами. Социальный слой — скорее всего, служилые татары или башкиры, перешедшие в русское подданство, или же вольные крестьяне.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Бахишов, Бахышев, Бахишев) показывает, что написание через «и» — самый частый вариант, хотя в дореволюционных метриках встречается и «Бахышев». Разница в гласной — не ошибка, а отражение разного произношения в диалектах: в одних тюркских языках звук ближе к «ы», в других — к «и». Так что, если вы ищете своих предков, стоит проверять оба написания.