Фамилия Балаболлин — редкий случай, когда прозвище, образовавшее её, почти не изменилось при переходе в фамилию. Основа здесь — слово «балабол» (болтун, пустомеля, говорун), а суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — «балаболлин», то есть сын или потомок Балабола. Такая модель типична для русских фамилий на -ин, образованных от прозвищ или профессий, оканчивающихся на согласный, но здесь обращает на себя внимание двойное «л»: в слове «балабол» одна «л», а в фамилии их две. Это не опечатка и не вариант написания — так закрепилась форма притяжательного прилагательного (сравните: «соколий» — «Соколин», но «козёл» — «Козлин»). То есть предка звали не «Балаболла», а именно «Балабол», а фамилия по правилам русской грамматики получила двойную «л» на стыке корня и суффикса.

Вероятнее всего, прозвище Балабол дали человеку разговорчивому, любящему поболтать, возможно, пустослову или балагуру. В словаре Даля «балабол» имеет именно такое значение — болтун, пустозвон. Однако не стоит думать, что это было исключительно обидное прозвище: в крестьянской среде болтливость нередко воспринималась как черта характера, а не порок, и такое прозвище могло закрепиться за человеком, который был душой компании или просто любил рассказывать истории. Редкость фамилии (она практически не встречается в современных телефонных справочниках и базах данных) говорит о том, что она либо очень локальна, либо почти исчезла в XX веке.

Других версий происхождения у этой фамилии, по сути, нет. Связывать её с тюркскими корнями или географическими названиями нет оснований — слово «балабол» чисто русское, звукоподражательное (от «бала-бала» — лепет, болтовня). Фамилии Балаболин, Балаболов, Балабанов — более частые варианты того же корня, но именно форма с двойным «л» и суффиксом -ин сохранила архаичную грамматическую конструкцию. Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, происходил из северных или центральных губерний России, где притяжательные фамилии на -ин были особенно распространены, и был потомком человека, которого в деревне знали как говорливого и общительного мужика.