Фамилия Балашков образована от прозвища Балашко. Это уменьшительная форма от слова «балаш» — в южнорусских и украинских говорах так называли шалуна, проказника, баловника. Основа та же, что в глаголах «баламутить», «баловить». Человек с таким прозвищем, скорее всего, был непоседлив, склонен к проказам или шумным затеям.

Суффикс -к- в прозвище Балашко — типичный для украинской и белорусской антропонимии уменьшительный формант. А вот конечный -ов в фамилии — уже русский патронимический суффикс, указывающий на принадлежность: «сын Балашка». Такое смешение моделей встречается часто: прозвище пришло с юга или запада, а фамилию оформили по великорусскому образцу. Это говорит о том, что носители фамилии могли жить на границе диалектных зон — например, в Курской, Воронежской или Смоленской губерниях.

Ударение в фамилии плавающее: в одних семьях говорят Балашко́в, в других — Бала́шков. Первый вариант ближе к исходному прозвищу (с ударным окончанием -о́в), второй — к фамильной традиции с ударением на корень. В документах XIX века встречаются оба написания, поэтому путать с фамилией Балашёв не стоит — у неё другое происхождение, от имени Балаш (сокращение от Владислав или Болеслав).

В целом фамилия редкая, в списках столбовых дворян не значится, но встречается у крестьян и мещан центральных и южных губерний. Если ваш предок носил её, он почти наверняка был из простонародья, и прозвище дали ему за живой нрав.