Фамилия Балдухай — редкая, и её разбор требует осторожности: очевидная основа не лежит на поверхности, и наиболее вероятное объяснение лежит за пределами славянской ономастики.

Скорее всего, перед нами фамилия тюркского происхождения. В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) «балды» означает «мёд», а «хай» (или «кай») — распространённый суффикс, образующий имена и прозвища. Таким образом, «Балдухай» могло быть дохристианским личным именем со значением «сладкий, как мёд» или «медовый». Подобные «вкусные» имена (ср. татарское Балташ) давали детям как пожелание сладкой, благополучной жизни. Фамилия, скорее всего, закрепилась в среде крещёных татар или башкир, которые после принятия православия получали фамилии по старым родовым именам.

Словообразовательная модель проста: к основе «Балдухай» прибавлять суффикс не пришлось — фамилия застыла в форме самого прозвища. Это характерно для фамилий, возникших на восточных окраинах России (Оренбуржье, Поволжье, Урал), где тюркские имена часто переходили в фамилии без изменений.

Вторая, менее правдоподобная версия, связывает фамилию с украинским или белорусским диалектным словом «балдуха» — так в некоторых говорах называли упрямого, вздорного человека. Тогда «Балдухай» — это прозвище, образованное с помощью суффикса -ай, который придаёт оттенок пренебрежения или шутки (ср. Глухай, Кривай). Но эта гипотеза слаба: в славянских языках корень «балд-» (от тюркского же «балда» — топор, дурак) встречается, но форма «Балдухай» для славянской фамилии нетипична и географически почти не фиксируется.

Итак, главный ответ для носителя фамилии: ваши предки, скорее всего, были тюрками по языку и культуре, возможно, крещёными татарами или башкирами. Имя Балдухай им дали не в насмешку, а как доброе пожелание. Фамилия живёт в основном на Урале и в Западной Сибири, где следы тюркского влияния особенно сильны.