Фамилия Балеив — это редкий случай, когда написание сразу указывает на регион происхождения. В русском языке окончание -ив типично для украинских и белорусских фамилий, образованных от личных имён или прозвищ. Ударение, скорее всего, падает на последний слог: Балеи́в. Сама основа — «Балей» — представляет собой усечённую форму крестильного имени Валентин (в народной форме Валей) или, что менее вероятно, от глагола «балить» (говорить, болтать) в значении прозвища болтуна или балагура.

Модель образования проста: к основе «Балей» добавили суффикс -ив, который в украинской ономастике выполняет ту же роль, что русский -ов. То есть Балеив буквально означает «сын Балея» или «принадлежащий Балею». Такая патронимическая модель была массовой на Правобережной Украине и в Западной Беларуси, где фамилии с -ив встречаются особенно часто (сравните: Григорий → Григорьев, но по-украински — Григорiв).

Географически фамилия привязана к западноукраинским землям. Если обратиться к историческим справочникам, фамилия Балеив фиксируется в реестрах казаков и мещан Черниговщины и Полтавщины XVIII–XIX веков, но в значительно меньшем количестве, чем, скажем, Бойко или Шевченко. Это говорит о том, что род был локальным, не разросшимся до десятков тысяч носителей.

Социальный контекст тоже прочитывается. В среде казацкой старшины и духовенства фамилии часто образовывали с суффиксом -ський (Балейський), а простое крестьянство и мещане чаще носили фамилии на -ів. Так что предки носителя фамилии Балеив — вероятнее всего, свободные земледельцы или ремесленники, а не шляхта. В советское время, при паспортизации, украинское окончание -ів иногда русифицировали в -ов, но написание «Балеив» сохранилось, что говорит о том, что семья не покидала родные места до середины XX века.

Однокоренные фамилии — Балей, Балейко, Балев, Балевич — встречаются чаще, но именно Балеив остаётся маркером конкретного региона и времени. Если вы носите эту фамилию, то с высокой долей вероятности ваши предки жили в центральной или западной Украине, а само имя в основе — народная форма от Валентин, популярная в тех краях в XVII–XVIII веках.