Фамилия Бандуил — настолько редкая, что не встречается ни в одном из крупных ономастических словарей (Унбегауна, Никонова, Веселовского). Её носители в России — единицы, и это сразу подсказывает, что перед нами не исконно русская фамилия, а скорее всего, позднее заимствование или адаптация иноязычной формы.

Скорее всего, основа Бандуил — это вариант передачи польской или украинской фамилии Banduła (Бандула) или Banduł (Бандул). В таком случае корень восходит к слову «бандура» — старинный струнный щипковый инструмент, а также к переносному значению «неповоротливый человек» или «увалень» (в польском и украинском просторечии). Суффикс -ил мог появиться на русской почве при оформлении фамилии по модели «-ил» (как Гаврил, Данил), либо это описка/искажение исходного окончания. Другая, менее вероятная версия — связь с тюркским именем Банды/Бандыулы, где -уил — искажённое «улы» (сын), но для этого нет подтверждений.

Географически фамилия могла закрепиться на западе Российской империи — в бывших польских или малороссийских губерниях, где фамилии на -ил встречаются как русифицированные варианты польских (например, Мочил, Стефил). В современной России Бандуил почти не встречается, что говорит либо о единичном переселении, либо о том, что фамилия была изменена при записи в метрических книгах.

Так что если вы носите фамилию Бандуил, то, скорее всего, ваш предок был либо музыкантом-бандуристом, либо получил прозвище «Бандула» за медлительность или грузность. Точнее сказать невозможно — слишком мало данных и носителей для статистики.