Фамилия Басареев — редкий случай, когда в основе лежит не личное имя и не профессия, а, скорее всего, прозвище, связанное с внешностью или характером. Разбираем её по косточкам.

Корень «басар» в русских говорах имел несколько значений, и все они — колоритные. В вятских и пермских диалектах «басарой» называли неопрятного, растрёпанного человека, неряху. Это же слово могло означать «пустомеля» или «болтун». Встречалось и значение «бестолковый, непутёвый». Таким образом, прозвище Басарай (или Басарей) давали человеку с не самой лестной характеристикой — либо неряшливому, либо пустослову. Суффикс -еев указывает на притяжательную форму: Басареев — буквально «сын Басарая» или «из рода Басарая».

Интересно, что фамилия эта — яркий пример так называемой «говорящей» фамилии, которая в древности не считалась оскорбительной. На Руси прозвища, подчёркивающие недостатки, давали для того, чтобы «сбить с толку» нечистую силу — считалось, что злые духи не позарятся на плохого человека. Поэтому предок-Басарай мог быть вполне добропорядочным человеком, а прозвище служило оберегом.

География фамилии подтверждает диалектное происхождение. Основные очаги фамилии Басареев — это Кировская область (бывшая Вятская губерния), Пермский край и Удмуртия. В этих местах слово «басара» было в ходу, и там же фамилия встречается чаще всего. В центральных областях России она практически не известна. Это говорит о том, что фамилия формировалась локально, в среде севернорусского населения.

Словообразовательная модель проста: прозвище Басарай (Басарей) + типичный русский суффикс -ев. Форма на -ев, а не на -ов, указывает на то, что основа оканчивалась на мягкий или шипящий согласный («й»). Редкий суффикс -ай в прозвищах (сравните: Гуляй, Ломай, Шугай) придаёт фамилии оттенок действия или свойства — Басарай как «тот, кто басарит» (то есть бездельничает или болтает). Так что, вопреки возможной догадке, фамилия не имеет никакого отношения к тюркскому слову «басар» (давитель) — это чисто русская, диалектная фамилия, родившаяся на Вятке.