Фамилия Башевая — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает все остальные версии. Она явно происходит от названия реки Башевая, левого притока Амура. Эта река течёт в Еврейской автономной области, и в тех же краях стоит село Башево. Фамилия, скорее всего, появилась у переселенцев, которые взяли название местного водного объекта или населённого пункта в качестве фамильного прозвища.

Словообразовательная модель здесь простая и прозрачная: основа «Башев-» плюс окончание «-ая». Это типичная «женская» форма русской фамилии. В русской традиции фамилии на «-ая» обычно закреплялись за женщинами (например, Иванова — Иванов, Башева — Башев). Но здесь мы видим не «Башева», а именно «Башевая». Такая форма характерна для фамилий, образованных от прилагательных, и часто встречается у выходцев из южных и западных регионов России, а также у казачества. Если глава семьи носил фамилию Башевой, то его жена и дочери записывались как Башевая.

Менее вероятная, но возможная версия отсылает к прозвищу «Баш» или «Баша». В тюркских языках «баш» означает «голова», «глава», «начальник». В русских говорах «башей» могли назвать человека с большой головой или, в переносном смысле, умного, главного. Однако в этом случае мы бы ожидали фамилию Башев или Башева, а не форму на «-ая». Форма Башевая надёжнее выводится именно из топонима.

Таким образом, искать корни фамилии Башевая стоит не в прозвищах предков, а на карте Дальнего Востока. Предки носителя этой фамилии, вероятно, жили на реке Башевой или в селе Башево, и их фамилия — это память о том конкретном месте, откуда пошёл род.