Фамилия Башевский — наглядный пример того, как географическая привязка и суффикс могут рассказать о происхождении точнее, чем корень. В ней работает типичная восточнославянская модель: основа + суффикс -ский, который в массе своей указывал на принадлежность к месту или владельцу поместья. Так образовывались фамилии дворянские (по названию имения) и крестьянские (по названию деревни, откуда человек вышел). Башевский — скорее всего, из вторых.

Корень здесь, скорее всего, топонимический: название населённого пункта вроде Башево или Башевка. Такие названия разбросаны по Беларуси, западной России и Украине. В основе такого топонима может лежать либо прозвище Баш (от «баш» — голова, умник, либо от тюркского «баш» — главный, старший), либо личное имя Баш — сокращённая форма от крестильного имени Василий (через Басилий) или Бажен. Второй вариант менее вероятен, потому что -евский обычно цепляется к полной основе, а не к усечённой.

Есть и более прозаичная версия: прозвище Баш мог получить человек с большой головой или, наоборот, с бойким, «головастым» характером. Тогда Башевский — потомок того самого Баша. Но суффикс -ский подсказывает, что первично было именно название места, а уж потом — фамилия его жителя. В польской и белорусской традиции такие фамилии на -ский массово закрепились за шляхтой, но на востоке их носили и крестьяне, и мещане — особенно после отмены крепостного права, когда многим дали фамилии по деревне.

Написание через «е» (Башевский, а не Башовский) — следствие аканья или мягкого произношения основы. В документах XIX века эта фамилия могла встречаться в вариантах Башевской, Башивский, но современный вариант закрепился как самый частотный. Сейчас носители фамилии встречаются в России, Беларуси и на востоке Украины, что подтверждает её западнорусские корни.