Фамилия Башынский — редкий случай, когда написание подсказывает произношение, а не наоборот. В большинстве фамилий на -ский мы привыкли к букве «и» в суффиксе (как в «Орловский»), но здесь стоит «ы». Это не ошибка и не опечатка. Скорее всего, перед нами результат закрепления на письме местного, «акающего» или «ыкающего» говора: в некоторых русских диалектах безударное «и» после твердых согласных произносилось близко к «ы». То есть первоначальная форма могла быть Башинский, но на слух и на письме превратилась в Башынский.

Основа фамилии — «Башын» или «Башин». Здесь возможны два пути. Первый: от прозвища или имени Баша, которое могло быть сокращением от канонических имен вроде Борис (через уменьшительное Боря → Баша) или Севастьян. Такие усеченные формы в прошлом были обычным делом: Баша — это как Саша от Александр или Паша от Павел. Второй путь — польское или белорусское влияние. В этих языках слово «basza» или «basza» означало «бас» (низкий голос) или, реже, «паша» (турецкий титул, заимствованный через польскую шляхетскую культуру). Если предок был певчим с низким голосом или носил шутливое прозвище «Паша», то фамилия могла образоваться именно оттуда.

Суффикс -ский указывает на дворянское или шляхетское происхождение, но только если фамилия возникла в Польше, Беларуси или на западе России в XVI–XVII веках. В более позднее время, особенно после отмены крепостного права, -ский могло дать и духовенство (семинаристы часто получали фамилии по названиям церквей или сел), и просто грамотные писаря, «облагораживавшие» крестьянские фамилии. Однако для фамилии Башынский нет надежных данных, чтобы утверждать принадлежность к конкретному сословию.

Географически фамилия редкая. Встречается в основном на западе России (Брянская, Смоленская области) и в Беларуси. Это косвенно подтверждает версию о польско-белорусском корне: именно там топонимы и прозвища с основой «Баш» (Башево, Башино) встречаются чаще, чем в центральной России. Если бы фамилия была от имени Баша, то логичнее было бы ожидать форму Башин или Башинов, но суффикс -ский выдает либо искусственное книжное происхождение, либо привязку к месту (например, выходец из урочища Башино или села Башын).

Таким образом, носитель фамилии Башынский с высокой вероятностью имеет предка с прозвищем Баша (от Бориса или Севастьяна) либо связан с западными землями, где слово «баша» могло означать баса или пашу. Необычное написание с «ы» — не порок, а живая диалектная черта, застывшая в документе.