Фамилия Башинская — одна из тех, что хранит в себе память о тюркском прошлом восточнославянских земель. Её основа — тюркское прозвище Башин. Если разобрать это слово, то ключевым окажется корень «баш» — «голова». В тюркских языках это слово многозначно: оно могло указывать и на внешность (человек с большой головой), и на социальный статус (главарь, предводитель), и на умственные способности (голова, умник).

Судя по суффиксу -ский, фамилия оформилась уже на русской или украинской почве. Такая модель образования типична для польской и южнорусской шляхты, а также для духовенства. Впрочем, в XIX веке фамилии на -ский массово получали и крестьяне, особенно после отмены крепостного права, так что однозначно судить о сословном происхождении Башинских сложно. Важнее другое: суффикс -ский обычно указывает на территориальную привязку. То есть прозвище Башин могло сначала закрепиться за целым селением (например, Башино), а уже от названия деревни образовалась фамилия его жителей — Башинские.

Встречаются Башинские и в польском ономастиконе. Там фамилия могла возникнуть от названия населённого пункта вроде Башин (Baszyn) или от имени Баш (Basz), которое, в свою очередь, является сокращённой формой от Бартоломей или Себастьян. Эта версия не отменяет тюркскую, а скорее дополняет её: разные корни могли дать одинаково звучащие фамилии в разных регионах.

В целом, если ваш предок — Башинский, он мог быть и потомком тюркского «головача» или старшины, и выходцем из польской шляхты, и просто крестьянином из деревни с названием Башино. Точнее сказать можно только после изучения конкретной семейной истории: география рода (юг России, Украина, Беларусь, Польша) сразу отсечёт лишние версии.