Фамилия Башилина — это женская форма фамилии Башилин, но в современном русском быту она воспринимается как самостоятельная (многие носительницы даже не склоняют её в мужской вариант). Корень здесь — «Башил-», а суффикс «-ин» указывает на принадлежность: «чей?» — Башилин, то есть сын или потомок человека по прозвищу Башила.

Самое интересное в этой фамилии — не очевидная основа, а её возможное происхождение. Сразу отбросим версию про тюркское «баш» (голова, главный): суффикс «-ила» в русских прозвищах типичен для глагольных форм (ср. «крутила», «зубрила»). Прозвище Башила, скорее всего, образовали от глагола «башить» — в русских говорах это слово означало «бить, колотить» или «громко кричать, шуметь». То есть Башилой могли назвать драчуна, забияку либо, наоборот, человека с громким голосом, крикуна. В архангельских и вологодских говорах «башить» фиксируется именно в значении «шуметь, буянить».

Есть и более мирная версия: в некоторых диалектах «башить» значило «бахвалиться, хвастать». Тогда Башила — хвастун. Оба варианта укладываются в модель русского прозвища по характеру или поведению, что типично для фамилий на «-ин» от кратких форм.

Географически фамилия Башилин (и Башилина) встречается преимущественно в центральных и северных областях России — в Вологодской, Кировской, Костромской областях. Это косвенно подтверждает диалектную природу основы: именно в этих регионах бытовал глагол «башить». Встречается фамилия и на Урале, куда переселенцы принесли севернорусские говоры.

Интересная деталь: в старых переписных книгах XVII века встречается прозвище Башило (например, крестьянин Башило из Устюжского уезда). Это не единичный случай — прозвища на «-ило» были продуктивны в северных землях. Таким образом, фамилия Башилина может восходить к конкретному предку, носившему такое прозвище ещё в допетровскую эпоху.

С точки зрения словообразования фамилия проста: основа «Башил-» плюс патронимический суффикс «-ин». Никаких редких формантов или иноязычных вкраплений. Это чисто русская фамилия, образованная от внутрирусского прозвища, без связи с тюркскими или финно-угорскими корнями — хотя на слух она может показаться «восточной» из-за начального «баш-».