Фамилия Басилаия — верный признак грузинского корня. Её выдают характерные окончания и способ образования, не встречающиеся в русской или украинской традиции. В Грузии такие фамилии на «-ия» (реже «-иа») распространены в основном в западных регионах — Мегрелии, Гурии, Имеретии. Иными словами, предки человека с этой фамилией происходили, скорее всего, из Западной Грузии.

Основа фамилии — личное имя Басил. Это грузинский вариант имени Василий, которое восходит к греческому «басилейос» — «царский». В Грузии имя Басил, как и его полная форма Басили, было популярно благодаря христианским святым, в первую очередь святому Василию Великому. Суффикс «-иа» в данном случае выполняет роль притяжательного падежа, указывая на принадлежность. То есть Басилаия буквально означает «принадлежащий Басилу», «из рода Басила». Это типичная модель для грузинских фамилий, образованных от крестильных имён.

Сложность в том, что в разных районах Грузии один и тот же корень мог обрастать разными суффиксами. Например, от того же имени Басил могли образовать фамилию Басилашвили (восток Грузии) или Басиладзе (юг и центр). Выбор суффикса «-ия» — региональная черта западных областей. Среди носителей фамилии Басилаия встречаются как известные спортсмены, так и деятели культуры, но в бытовом плане фамилия не считается редкой или аристократической — она обычна для крестьянского и городского населения Западной Грузии.

В русском языке фамилия склоняется по образцу существительных женского рода на «-ия»: Басилаия, Басилаии, Басилаию. При этом в самой Грузии склонение не практикуется — фамилия неизменяема. Если вы ищете корни, стоит обратить внимание на метрические книги Кутаисской губернии и записи церквей Мегрелии. Там фамилия встречается с XIX века, хотя сама традиция именования по отцу с суффиксом «-ия» гораздо древнее.