Фамилия Баскончин — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не профессия и не географическое название, а этноним, причём с неочевидной огласовкой. Корень «басконч-» восходит к слову «басконец» — так в старых русских текстах называли жителя Басконии, то есть баска. В XVI–XVII веках через русские земли проходили иноземные наёмники, купцы и мастера, и прозвище Басконец (или Басконча) мог получить либо выходец из Страны Басков, либо русский, побывавший там или торговавший с басками. Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — Баскончин, то есть сын или потомок Баскончи.

Возможна и вторая, более прозаическая версия: «басконча» в некоторых южнорусских говорах могло означать болтуна, пустомелю — от глагола «баскать» (болтать, говорить вздор). Однако эта гипотеза слабая: слово «басконча» в таком значении нигде не зафиксировано, а фамилия явно единичная и книжная по происхождению. Скорее всего, перед нами именно экзотический этноним, который дали человеку с тёмными волосами и смуглой кожей — внешность басков отличалась от типичной русской и бросалась в глаза.

Словообразовательная модель проста: основа (Басконч-) + патронимический суффикс -ин. Фамилии на -ин в русском языке образуются от основ на -а/-я, и здесь исходное прозвище звучало как Басконча (ср. Басконец → Басконча). Ударение, скорее всего, падает на второй слог: БаскОнчин.

В списках дворянства и в дореволюционных справочниках эта фамилия не встречается — её нет ни в «Общем гербовнике», ни в боярских книгах. Это крестьянская или мещанская фамилия, возникшая, вероятно, на юге или западе России, где чаще оседали иностранцы. Поскольку носителей крайне мало, можно предположить, что род Баскончиных либо прервался, либо сильно разошёлся по стране, но не дал массового потомства.

Географически фамилия привязана к единичным записям — например, в метрических книгах XIX века она изредка встречается в Воронежской и Курской губерниях. Это подтверждает связь с южнорусскими территориями, где «басконец» могло быть прозвищем для любого заезжего южанина, а не только для баска.