Фамилия Бассаргин — один из тех случаев, когда на слух кажется, что корень должен быть иностранным, а на деле он оказывается местным, русским, хотя и неочевидным. Сразу скажем: ничего общего с баснями или басами здесь нет. Основа фамилии — прозвище Бассарга. Так в старых русских говорах называли человека суетливого, беспокойного, непоседливого. В словарях зафиксирован глагол «бассаргать» — суетиться, метаться, делать что-то торопливо и не всегда толково. Это слово живёт в северных и северо-восточных диалектах, особенно в архангельских и вятских. Соответственно, Бассаргин — это «сын Бассарги», то есть потомок того самого непоседы.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: чей? — Бассаргин. Такая модель типична для фамилий, образованных от прозвищ или имён, оканчивающихся на -а или -я (Бассарга → Бассаргин, как Кузьма → Кузьмин, Фома → Фомин). В дореволюционных переписях фамилия встречается почти исключительно на Русском Севере и в Приуралье — в Вологодской, Вятской, Пермской губерниях. Это подтверждает и диалектную природу корня: южнорусским говорам слово «бассаргать» незнакомо.

Любопытна параллель с фамилией Басарыгин. Внешнее сходство обманчиво: у Басарыгина основа — «басарыга» от «баса» (красота, наряд), то есть щёголь. А Бассаргин — про характер, а не про внешность. Встречается и вариант с одним «с» — Басаргин, но он может относиться к тому же гнезду: в устной речи удвоение согласных часто терялось. Так что, если ваш предок был Бассаргиным, он, скорее всего, происходил из северной крестьянской семьи, где прозвище дали за живой, беспокойный нрав — не злой, но суматошный.