Фамилия Басюра образована не от имени, а от прозвища. В её основе лежит украинское слово «басюра» — так в некоторых говорах называли человека с низким, густым голосом, басом. Прозвище могли дать либо певчему с мощным голосом, либо просто человеку, который говорил громко и басовито. Слово «басюра» — экспрессивная форма с увеличительным суффиксом -юр-, которая придавала прозвищу оттенок грубоватости или шутки.

Модель образования фамилии — бессуффиксная, что типично для украинской и белорусской ономастики. Фамилия закрепилась как есть, без патронимических суффиксов -енко, -ук или -ич. В отличие от фамилии Иваненко, которая буквально означает «сын Ивана», Басюра не указывает на родство, а прямо наследует прозвище первого носителя. Такая модель встречается реже и говорит о том, что фамилия могла закрепиться в среде казачества или крестьянства, где прозвища часто переходили в фамилии без изменений.

Встречается Басюра преимущественно на западе Украины — в Волынской, Ровенской, Тернопольской областях, а также в приграничных районах Беларуси. В России фамилия редка, её носителей можно встретить в Краснодарском крае и Ростовской области — в местах переселения украинцев в XIX—XX веках. По сословной принадлежности предки Басюр скорее всего были крестьянами или мещанами, но документальных подтверждений этому мало.

В ономастических работах фамилия не получила широкого освещения, но её корень надёжно связывается с украинской диалектной лексикой. Спорных версий происхождения практически нет — прозвищная основа «бас» очевидна, а суффикс -юр- встречается в других украинских фамилиях того же типа (например, Касюра, Хасюра).