Фамилия Баюра напрямую связана с украинским словом «баюра» — так называют лужу, яму с водой, небольшое озерцо или запруду. В основе фамилии лежит прозвище, которое указывало на место жительства человека: скорее всего, предок жил в сырой, заболоченной местности или на берегу пруда. Здесь нет суффикса -ов или -ин, которые обычно добавляют к прозвищу, чтобы сделать фамилию, — Баюра осталась в исходной, «прозвищной» форме, что типично для украинских фамилий. Ударение падает на второй слог: Баю́ра.

По модели образования Баюра относится к группе фамилий, которые на письме не меняют окончания и склоняются как существительные женского рода, хотя носят их и мужчины. Это сближает её с такими украинскими фамилиями, как Шевчук, Нечай или Голота. Географически фамилия чаще всего встречается в центральных и западных областях Украины, а также в южных регионах России, куда переселялись украинские крестьяне в XVIII–XIX веках.

Есть и вторая, менее распространённая версия происхождения: в некоторых говорах «баюра» могло означать говорливого, болтливого человека — от глагола «баять» (говорить). Однако эта гипотеза слабее: слово «баюра» в значении «болтун» почти не зафиксировано в словарях, а в значении «лужа» оно широко известно, особенно в диалектах Черниговщины и Полтавщины. Так что версия с местом жительства выглядит правдоподобнее.

Сословно фамилия не даёт подсказок: её могли получить и крестьяне, и казаки, и мещане — прозвище по местности не привязано к какому-то одному социальному слою. В дореволюционных метриках Баюры встречаются среди реестровых казаков и государственных крестьян, но это не значит, что все носители фамилии происходят из одного сословия.