Фамилия Баюрас звучит не по-русски, и это первая зацепка. В ней нет привычных для русских фамилий суффиксов -ов, -ев, -ин или -ский. Окончание -ас прямо указывает на литовское происхождение: в литовском языке это типичный суффикс, образующий фамилии мужского рода. Женский вариант в Литве звучал бы как Баюрене (для замужней) или Баюрайте (для незамужней).

Основа фамилии — «баюр-». В литовском языке есть слово «bajūras», которое означает «господин», «барин», «знатный человек». Это заимствование из польского или белорусского, где «bajoras» (от польск. «bajor» — дворянин, шляхтич) обозначало представителя привилегированного сословия. Таким образом, Баюрас в буквальном смысле — «дворянин» или «шляхтич». Фамилия образована от прозвища или социальной характеристики: предка могли так прозвать за его поведение, манеры или реальную принадлежность к мелкопоместной шляхте.

Географически фамилия почти наверняка закрепилась на территории исторической Литвы (Великого княжества Литовского), в современной Литве или в приграничных районах Беларуси и Польши, где жили литвины. В России она встречается редко и, как правило, у потомков выходцев из этих земель. Сопоставимые по модели фамилии — Балтрунас, Паулаускас, Мажейка — тоже несут литовский суффикс и часто переводились на русский лад при записи в метрики, но Баюрас, скорее всего, сохранил исходную форму.

Есть и менее вероятная версия: связь с литовским «bajūrinėti» — «бахвалиться», «хвастаться». Тогда прозвище могло закрепиться за человеком, который любил пускать пыль в глаза, изображать из себя барина. Но первая версия — прямая связь с сословным термином — кажется более логичной, поскольку в литовской антропонимике такие «социальные» фамилии не редкость.