Фамилия Батих — редкая и по звучанию, и по способу образования. Скорее всего, перед нами не типичная русская фамилия на -ов или -ин, а фамилия, застывшая в форме родительного падежа множественного числа — так называемая «домашняя» форма на -их. В русской ономастике такие фамилии (Батих, Коротких, Долгих) указывали на принадлежность к роду или дому: «из дома Батих» — то есть из семьи, где главу звали Бат или Батой.

Основа «Бат-» вызывает несколько версий. Самая прямая — от уменьшительной формы крестильного имени Вата или Ват, которое, в свою очередь, могло быть народным вариантом имени Варфоломей (в быту — Вахрамей, Вахра). В северных и сибирских говорах «батя» означало «отец», «батюшка», и прозвище Бат могли дать либо уважаемому старшему в роду, либо, наоборот, человеку, который постоянно поминал отца. Менее вероятно, но возможно, что корень связан с глаголом «батать» (говорить, болтать) — в таком случае Бат был говорун или балагур.

Географически фамилия Батих встречается в основном в старых русских областях — на Вятке, в Пермском крае, на Урале. Эти регионы как раз и дали множество фамилий на -их, которые так и остались в документах без изменений, в отличие от центральных губерний, где их переделывали на стандартные -ов. Если ваши предки носили фамилию Батих, они почти наверняка были крестьянами или посадскими людьми из северорусской или уральской среды, а сама фамилия закрепилась за их родом в XVI–XVII веках.

В словарях Б. Унбегауна и В. Никонова эта фамилия не выделяется отдельно, но по модели образования она близка к фамилиям Батищев, Батюшков, Батиков. Отличие Батих в том, что она не перешла в притяжательную форму, а сохранила архаичный падежный суффикс, что делает её особенно ценной для исторической диалектологии: она — живой след того, как в русской деревне называли семьи «по отцу» без помощи фамильных окончаний.