Фамилия Базарьев — редкий случай, когда основа ясна, а путь её появления в фамилии неочевиден. В основе лежит слово «базарь» — так в старых русских говорах, особенно на юге и в Сибири, называли базар, торг, рыночную площадь. Человек мог получить прозвище Базарь за шумный нрав, за привычку торговаться или за то, что постоянно пропадал на базаре. Но есть и другая, более конкретная версия: «базарем» нередко называли самого торговца, причем мелкого — лоточника или коробейника, который не имел лавки, а торговал «с базара».

Суффикс -ев указывает на патронимическую модель: Базарьев — это сын Базаря. Форма «Базарь» (с мягким знаком на конце) говорит о том, что прозвище было образовано по типу существительных мужского рода с основой на мягкий согласный или по модели кратких прилагательных. В русской ономастике фамилии на -ев редко образуются от названий мест (вроде «базар»), если только это не переосмысленное прозвище. Поэтому версия с прозвищем торговца выглядит убедительнее, чем предположение, что предок жил на Базарной улице — в таком случае скорее появилась бы фамилия Базаров.

Интересно, что фамилия Базарьев почти не встречается в центральных областях России. Её ареал тяготеет к южнорусским регионам, где слово «базарь» было в ходу, и к бывшим казачьим землям. В казачьей среде прозвища по роду занятий давали особенно охотно, и «базарь» могло закрепиться за человеком, который в походе или на станичном кругу брал на себя роль торговца или снабженца.

В отличие от массовой фамилии Базаров, прославленной литературой, Базарьев осталась на периферии. Она не попала в списки дворянских родов и не фиксируется в старых боярских книгах. Это фамилия крестьянская или мещанская, возникшая, скорее всего, не раньше XVII–XVIII веков, когда прозвища начали массово переходить в наследственные фамилии. Если ваш предок носил её, он с высокой вероятностью был либо мелким торговцем, либо человеком, которого за живость характера прозвали «базарным шумом».