Фамилия Базарева — женская форма от Базарев, и это сразу отсекает часть догадок. Основа здесь не прозвище «базар» в смысле шумного человека, хотя такое объяснение лежит на поверхности. В русской ономастике суффикс -ев указывает на притяжательное значение: чей? — Базарев, то есть сын или потомок человека по имени или прозвищу Базар. Но вот с корнем сложнее.

Версия, которую поддерживают лингвисты, опирается на тюркские корни. Слово «базар» в тюркских языках — не только торговая площадь, но и личное имя. У народов Поволжья и Средней Азии имя Базар давали ребёнку, родившемуся в базарный день, или как оберег — чтобы жизнь была «торговая», полная. Фамилия Базарев, а значит и Базарева, могла возникнуть в среде татар, башкир или чувашей, а затем через межэтнические контакты закрепиться у русских. В пользу этого говорит и суффикс -ев, характерный для фамилий на мягкий или шипящий согласный, что типично при адаптации тюркских основ.

Вторая, менее вероятная гипотеза — от прозвища Базарь, которое давали крикливому, суетливому человеку, любителю поспорить или торговаться. Такие прозвища фиксировались в русских писцовых книгах XVI–XVII веков, но обычно они давали фамилии с суффиксом -ов (Базаров), а не -ев. Форма Базарев встречается реже и чаще в южнорусских и волжских регионах, где тюркское влияние сильнее.

Что касается географии: по данным современных архивов, фамилия Базарева распространена в Самарской, Оренбургской областях и в Татарстане. Это совпадает с зоной расселения татар и чувашей, где имя Базар было обычным. Встречается она и в казачьих родах, но там, скорее, как русифицированный вариант.

Таким образом, если ваши предки носили фамилию Базарева, с большой вероятностью они происходят из среды, где смешивались русские и тюркские традиции, а сама фамилия восходит к личному имени Базар, которое давали по дню рождения или как пожелание удачи.