Фамилия Базавой — редкий случай, когда написание подсказывает произношение, а оно, в свою очередь, выдаёт географию носителей. Ударение почти наверняка падает на последний слог: Базаво́й. Такая модель с окончанием -ой вместо привычного -ов характерна для южнорусских и украинских говоров. Если бы фамилия закрепилась в северных или центральных областях России, она, скорее всего, превратилась бы в База́ева или Базаво́ва. Но форма на -ой указывает на то, что предки жили там, где в обиходе говорили «базавой» вместо «базаровый» или «базарный».

Основа фамилии — слово «базар». В диалектах прилагательное «базавой» означало «относящийся к базару, торжищу» или «продажный, купленный на рынке». Однако прозвище Базавой могли дать не торговцу, а человеку, который постоянно бывал на базаре: либо как завсегдатай-бездельник, либо, наоборот, как мелкий скупщик или перекупщик. В южных губерниях Российской империи базары были не просто местом торговли, а центром общения, и прозвище могло закрепиться за говорливым, шумным или суетливым человеком — по аналогии с базарной толчеёй.

В словообразовательном плане фамилия стоит ближе к украинской модели: суффикс -ов- плюс окончание -ий (в русской передаче -ой). Сравните с украинскими фамилиями Базовий, Базовенко, где корень тот же. Встречается она и у потомков запорожских казаков, переселившихся на Кубань, — там диалектная форма «базавой» бытовала до XX века. Таким образом, носитель фамилии Базавой почти наверняка имеет корни в южнорусских областях (Курская, Воронежская, Ростовская губернии) или на Украине.

Спорных версий происхождения здесь немного. Связывать фамилию с тюркским «база» (голова, глава) маловероятно: для этого в русском языке есть фамилии Базаев, Базанов, а форма Базавой слишком явно отсылает к славянскому слову «базар». Ещё реже встречается гипотеза о связи с глаголом «базить» (говорить громко, бахвалиться), но и в этом случае фамилия звучала бы как Базивой или Базовой. Так что самый надёжный путь — через рынок и торговлю, пусть и не обязательно через профессию предка.