Фамилия Базажи — редкая и нестандартная для русского уха. Сразу бросается в глаза её окончание: оно не вписывается в типичные модели русских фамилий на -ов, -ин или -ский. Это почти всегда признак иноязычного происхождения, причём недавнего. Скорее всего, перед нами фамилия, принесённая в Россию переселенцами или беженцами в XIX–XX веках, либо результат адаптации иностранной фамилии на русской почве.

Самая вероятная версия — молдавское или румынское происхождение. В румынском языке слово «bază» означает «основа», «база», а суффикс -gi (в русской транскрипции -жи) характерен для фамилий, образованных от названий профессий или занятий. Формант -gi (читается как «жь») в румынской ономастике соответствует русскому суффиксу -щик: он указывает на человека, который что-то делает или чем-то занимается. Таким образом, Базажи могло значить «тот, кто работает на базе», «складской рабочий» или «владелец склада». Вполне конкретное прозвище по роду деятельности, которое затем закрепилось как фамилия.

Менее убедительная, но возможная версия — западноукраинское или польское происхождение. В польском языке есть слово «baza» с тем же значением, но фамилия Базажи (Bazaży) встречается крайне редко и, скорее, является результатом полонизации румынской фамилии. Поскольку фамилия не фиксируется в старых русских переписных книгах и дворянских родословных, её появление в России следует связывать с миграциями конца XIX — начала XX века, прежде всего из Бессарабии (историческая область на стыке Молдавии и Украины).

С точки зрения словообразования, фамилия не претерпела типичной русификации: она сохранила иноязычное окончание. Если бы носители фамилии жили в русской среде несколько поколений, её могли бы переделать в Базажев или Базажин, но этого не произошло. Значит, фамилия либо относительно новая для России, либо её носители держались обособленно, сохраняя язык и традиции.

Знаменитых носителей фамилии Базажи в открытых источниках нет. Это не умаляет её ценности для истории: такие фамилии — живые свидетельства перемещений людей и смешения культур, которые в XX веке изменили этническую карту страны.