Фамилия Бажко — один из примеров того, как прозвище, данное человеку, со временем закрепилось за его потомками. В её основе лежит прозвище Баж, а суффикс -ко указывает на украинское или южнорусское происхождение: в этих говорах -ко часто присоединяли к основе, образуя фамилии (сравните: Шевченко, Ковалько). То есть Бажко — это буквально «сын или потомок Бажа».

Значение самого прозвища Баж неоднозначно, и у него есть несколько версий. Самая прямая отсылает к глаголу «бажать» — «сильно хотеть, желать». Так могли назвать долгожданного, вымоленного ребёнка, которого наконец дождались родители. В этом случае фамилия несёт в себе тёплый, даже трогательный смысл.

Другая версия ведёт в северные говоры, в частности в архангельские. Там слово «баженье» означало «милость, сострадание». Если прозвище пошло оттуда, то оно описывало характер человека — добросердечного, гуманного, способного к сочувствию. Такое прозвище могли дать не за внешность или профессию, а за душевные качества.

Наконец, есть и третья, более редкая гипотеза. Она связывает прозвище с диалектным глаголом «бажить» — «ворожить, предвещать, накликать». В этом случае предок мог быть ведуном или прорицателем, человеком, который, по народным представлениям, умел предсказывать или заговаривать. Эта версия менее распространена, но тоже возможна, особенно если фамилия бытует в местностях, где сохранялись такие поверья.

Какая из версий верна для конкретной семьи — сказать трудно. Но ясно одно: фамилия Бажко образована напрямую от прозвища, без дополнительных суффиксов принадлежности (вроде -ов или -ин), что характерно для украинской ономастической традиции. Встречается она преимущественно на территории Украины и в южных областях России.