Фамилия Базылевыч — хороший пример того, как по суффиксу можно определить регион происхождения. Окончание -ыч (а не -ич) указывает на белорусскую или западнорусскую территорию. В русском языке отчества и фамилии на -ич встречаются повсеместно, а вот форма с твёрдым ы характерна для земель бывшего Великого княжества Литовского. Если бы фамилия была Базылевич, её можно было бы встретить и в Польше, и на Украине, и в России. Твёрдое -ыч сужает ареал: скорее всего, корни семьи — в современной Беларуси или в западных областях России (Смоленщина, Брянщина).

Основа фамилии — Базыль. Это народная, обиходная форма канонического имени Василий. Уменьшительно-ласкательные варианты вроде Базыль, Базиль были распространены у восточных славян, особенно в тех краях, где чувствовалось польское или литовское влияние (ср. польск. Bazyli). Имя Василий в переводе с греческого означает «царский», «царственный», но в фамилии это значение стёрлось: для крестьянина или ремесленника XVII века Базыль — просто имя отца, без претензий на монархию.

Модель образования простая: к основе Базыль прибавили патронимический суффикс -ыч, то есть «сын Базыля». Такие фамилии в Беларуси часто застывали в форме отчества и передавались детям уже как наследственное прозвище рода. Сословно это, скорее всего, крестьянская или мещанская фамилия: дворянские роды чаще брали фамилии на -ский или -ович, а простые люди могли долго обходиться без фамилии вовсе, а потом получить её по имени отца.

Встречается и вариант написания через е — Базелевич, Базилевич, но именно Базылевыч — редкая и характерная форма, которая сразу выдаёт белорусское происхождение. Если ваши предки носили эту фамилию, можно с большой вероятностью предположить, что они жили на территории современной Беларуси или в прилегающих районах России, а родоначальником был человек по имени Базыль (в крещении — Василий).