Фамилия Бегаришева — женская форма фамилии Бегаришев. Её основа — мужское имя или прозвище Бегарыш, которое в русской среде подверглось адаптации через суффикс принадлежности -ев. Ключевой вопрос здесь — происхождение самого корня «Бегарыш».

Скорее всего, перед нами тюркское по происхождению имя. В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) есть основа «бег» или «бек», означающая «господин», «князь», «сильный». Вариант «Бегарыш» может быть сложным именем-пожеланием: первая часть — «бег», вторая — «арыш» (от тюркского «арыш» — «рожь», «урожай», или же как вариант «арыш» — «чистота», «благородство»). Таким образом, имя могло означать «богатый господин» или «чистый (благородный) князь». Впрочем, более прозаичная версия — это прозвище, данное человеку, который торговал зерном или имел отношение к хлебу (рожь — арыш).

Суффикс -ев указывает на типичную русскую модель образования фамилий от иноязычных основ. Фамилия закрепилась в среде поволжских татар, башкир или других тюркских народов, которые после вхождения в состав Русского государства принимали фамилии по отцу. Встречается она и у русских, но в таких случаях это, скорее всего, результат обрусения тюркского корня.

Географически фамилия Бегаришев (и её женская форма) наиболее вероятна для регионов с компактным проживанием татар и башкир — Татарстан, Башкортостан, Оренбургская, Челябинская области. В дореволюционных метрических книгах её можно встретить в записях о крещёных татарах, которые часто получали фамилии от имён отцов, переделанных на русский лад.

Если отбросить экзотические версии (вроде связи с греческим «бег» или славянским «бегать»), то самый правдоподобный след ведёт к тюркскому имени-прозвищу, где «бег» — это титул, а вторая часть уточняет качество или занятие. Фамилия не очень распространённая, что делает её носителей хранителями довольно редкой ономастической традиции.