Фамилия Бегон — редкий случай, когда корень слова не бросается в глаза. На первый взгляд, она напоминает отглагольное образование от «бегать» или «бежать», но это ложный след: в русском языке нет модели, по которой от глагола «бегать» образовали бы фамилию Бегон. Скорее всего, перед нами искажённое или адаптированное западное имя или прозвище.

Самая вероятная версия — фамилия восходит к французскому Begon (Бегон). Во Франции это известная фамилия, которую носил, например, ботаник и интендант Мишель Бегон (XVII век), в честь которого назвали цветок бегонию. В Россию такая фамилия могла попасть вместе с французскими эмигрантами, офицерами или мастерами после 1812 года или в конце XVIII века, когда в стране было много иностранцев на службе. Русское ухо могло переделать ударение или написание, но корень остался тем же.

Есть и другая, более прозаичная версия: фамилия могла возникнуть на стыке русского и тюркского языков. В некоторых говорах «бегон» могло быть искажённым прозвищем от «бегун» (человек, который быстро ходит или избегает работы) — с заменой «у» на «о» под влиянием акающего произношения. Однако такая гипотеза слабая: фамилий на -он, образованных от русских глагольных основ, почти не встречается, а «Бегун» и «Бегунов» в тех же регионах куда логичнее.

Обратите внимание на суффикс: в фамилии нет типичных русских окончаний -ов, -ин, -ский. Это значит, что Бегон — скорее всего, не русифицированная, а застывшая форма прозвища или иностранной фамилии. В старых документах её могли записать как «Бегонъ» — с твёрдым знаком на конце по дореволюционной орфографии.

Географически фамилия встречается редко и разрозненно: единичные носители есть в центральной России, на юге и в Сибири, но без выраженного «гнезда». Это косвенно подтверждает версию о единичном заимствовании, а не о массовом народном прозвище.

Если ваши предки носили фамилию Бегон, стоит поискать в семейных преданиях французский след или связь с дворянством: среди французских эмигрантов было много людей разного сословия, от гувернёров до офицеров. Но не исключено, что фамилия — это просто редкий вариант записи чужой фамилии, которую при переезде в Россию «обрусели» на слух.