Фамилия Бекета — редкий случай, когда за основой может стоять не имя и не прозвище, а придворная должность. В тюркских языках слово beketka означало «воспитатель ханского сына». Эта должность существовала при дворах Бухарского эмирата, Хивинского и Кокандского ханств вплоть до начала XX века. Если ваш предок носил фамилию Бекета, вполне вероятно, что он или его дальний родственник занимал именно такое положение — был наставником при наследнике престола.

Однако это не единственная версия. Слово Beket могло прийти и из арабского baxt — «судьба, счастье, благополучие». В кыпчакских языках, в частности в старом татарском, это слово адаптировалось как baket. Отсюда же, кстати, пошло и ногайское мужское имя Бекет, которое могло лечь в основу фамилии. В некоторых кыпчакских языках, например в казахском, есть глагол bekit — «укреплять, делать крепким». Он тоже мог послужить источником для фамилии.

Менее убедительной выглядит версия, связывающая фамилию с русским словом «бекет». Это слово заимствовано из французского piquet или немецкого pickett и в дореволюционной России обозначало военный пост, отводной караул или небольшой сторожевой отряд. Владимир Даль в своём словаре определяет «бекет» именно так — как часть войска, выставленную для охраны. Но эта гипотеза слабее: фамилии от заимствованных военных терминов встречаются реже, чем от тюркских имён и званий, к тому же написание «Бекета» (без двойной «т») ближе к тюркским корням. Скорее всего, перед нами след давней придворной службы или личного имени, а не казачьего поста.