Фамилия Беляеиская — редкий и, скорее всего, искажённый на письме вариант. С высокой вероятностью перед нами опечатка или диалектное произношение фамилии Беляевская. В русской ономастике суффикс -евск- (с вариантом -овск-) образует фамилии от географических названий: Беляево, Беляевка. Таких сёл и деревень в России десятки — от Псковщины до Сибири. Человек, носивший фамилию Беляевский, в прошлом происходил из населённого пункта с корнем «бел-» (от слова «белый»: белый дом, белая земля, белый ключ).

Если же написание «Беляеиская» не ошибка, а редкая форма, то в ней странный суффикс -иск-, который в русских фамилиях почти не встречается. Обычно -иск- характерен для польских (Висневский, Замойский) или украинских (Огинский) фамилий, но там основа другая. В русском языке «и» на месте «в» могло появиться из-за местного говора (например, северное «цоканье» или замена «в» на «и» в безударной позиции) — но это уже область догадок.

Словообразовательная модель здесь проста: основа «Беляев-» (от прозвища Беляй — светловолосый, белокожий, или от имени Беляй как уменьшительной формы Белоус, Белобород) + суффикс принадлежности. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» такие фамилии (Беляев, Беляевский) отнесены к группе, образованной от неканонического имени Беляй, которое давали по внешности. То есть предок мог быть человеком со светлыми волосами или просто бледным лицом.

Географически фамилия Беляевская (в нормативном написании) распространена в западных и центральных областях России, а также на Украине, где много топонимов Беляевка. Если же ваша фамилия пишется именно через «и», то её носители, скорее всего, сосредоточены в одном регионе — возможно, в Вологодской или Архангельской области, где в документах XIX века встречаются искажения из-за местного произношения.

Точных данных об известных носителях именно с таким написанием нет — это редкий вариант, который стоит проверить в архивах по месту жительства семьи. Если ваша фамилия — Беляевская, то она типична для дворянского или крестьянского сословия, получившего фамилию по месту жительства. Если же это Беляеиская — то перед нами, вероятно, историческая ошибка переписчика, которую теперь носит как родовую метку.