Фамилия Белявкий — редкий случай, когда написание подсказывает путь к разгадке. В ней нет привычного суффикса -ов или -ин, а окончание -ий указывает на польское или западнорусское происхождение. Скорее всего, перед нами адаптированная на русской почве фамилия Белявский (Bielawski), потерявшая букву «с» при записи в документах. Такие искажения часто случались при переписи: писарь записывал на слух, а фамилия закреплялась в упрощённом виде.

Основа фамилии — корень «бел-», который в славянских языках связан с цветом (белый) или с понятием «белый, чистый, светлый». Однако в топонимических фамилиях на -ский этот корень чаще указывает на место. Белявкий — это человек из населённого пункта с названием Белавы, Белая, Белява. Таких сёл и деревень много в Беларуси, Польше и на западе Украины. Например, в Польше есть город Белява (Bielawa), а в Беларуси — деревни с похожими корнями. Фамилия могла принадлежать шляхтичу, владевшему такой землёй, или крестьянину, переселившемуся оттуда.

Вторая версия, менее вероятная, но возможная — прозвищное происхождение. В говорах «белявка» — это светловолосая девушка или белая корова, а «белявый» — бледный, белолицый человек. Но суффикс -к- в основе (Белявк-) не характерен для прямых прозвищ в русском языке: обычно от них образуют фамилии на -ов (Белявков). Форма на -ий — это именно «географический» след.

Обратите внимание на ударение. В польском оригинале Bielawski ударение падает на предпоследний слог — на «я». В русском обиходе фамилию Белявкий чаще произносят с ударением на второй слог (Беля́вкий), хотя встречается и вариант на «а» (Белявки́й). Это зависит от того, как семья привыкла себя называть.

Социальный состав носителей фамилии пёстрый. В XIX веке Белявкие встречались среди мещан и крестьян западных губерний Российской империи — Виленской, Гродненской, Минской. В советское время фамилия стала расселяться шире, но сохранила концентрацию в Беларуси и на Смоленщине. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни именно в тех краях, а не в центральной России.