Фамилия Белыи — редкий случай, когда написание напрямую указывает на возможную опечатку или диалектную особенность. В академических словарях и базах данных (например, у Б. Унбегауна или В. Никонова) фамилия с окончанием на «-ыи» не фиксируется как устоявшаяся форма. Скорее всего, перед нами искажение фамилии Белый, возникшее при записи в паспорте или церковной книге. В северных и сибирских говорах, где «ы» и «и» могли смешиваться, а также при небрежном заполнении документов, окончание «-ый» легко превращалось в «-ыи». Поэтому первая и главная версия: Белыи — это вариант фамилии Белый, а её носители — потомки человека по прозвищу Белый.

Прозвище Белый в Древней Руси давали не за цвет волос. Чаще всего так называли человека со светлой кожей, избежавшего загара (что было редкостью среди крестьян), либо того, кто носил белую одежду — например, монаха или мельника, вечно обсыпанного мукой. Иногда «Белым» прозывали чистоплотного, опрятного хозяина. В некоторых регионах слово «белый» указывало на социальный статус: «белые» крестьяне (не крепостные) или «белые» земли (свободные от податей). Таким образом, предок носителей фамилии мог быть либо физически приметным человеком, либо занимать особое положение в общине.

Если же написание «Белыи» не случайно, а исконно, то это редкий случай фамилии с архаичным суффиксом -ыи, характерным для кратких прилагательных в древнерусском языке (сравните: «добрыи человек»). В таком случае фамилия застыла в форме именительного падежа единственного числа мужского рода старого образца, что встречается в некоторых северных фамилиях (например, Гладыи, Скорыи). Однако массового распространения эта модель не получила, и вероятность того, что фамилия Белыи образована именно так, а не через опечатку, невелика.

С точки зрения географии, фамилия Белый (и её варианты) широко распространена по всей России, особенно в центральных областях и на юге. А вот форма Белыи встречается точечно — чаще всего в документах XIX — начала XX века, где ошибки писцов были обычным делом. Поэтому, если вы ищете свои корни, стоит проверять обе версии написания: и Белый, и Белыи. В метрических книгах одного и того же села один и тот же человек мог быть записан по-разному.

В итоге: фамилия Белыи — скорее всего, графический дубль фамилии Белый, а её основа восходит к прозвищу, данному по внешности, роду занятий или социальному положению. Если же это не ошибка, то перед нами реликт старой грамматики, сохранившийся в единичных семьях.