Фамилия Бербенцов — редкий случай, когда основа не очевидна, а суффикс указывает на нестандартную модель. Если бы фамилия оканчивалась на -ов, её можно было бы возвести к прозвищу Бербенец, но здесь -цов, а это значит, что в основе лежит слово «бербенец» — прилагательное или существительное с суффиксом -ец.

Скорее всего, фамилия образована от прозвища Бербенец, которое могло относиться к человеку из местности с похожим названием (например, деревни Бербенка или Бербеново — такие топонимы встречаются в западных областях России, особенно в бывших псковских и новгородских землях). Суффикс -ец в русских прозвищах часто указывал на выходца: «бербенец» — тот, кто из Бербени или Бербенова. Тогда Бербенцов — это «сын Бербенца», то есть потомок человека с таким прозвищем.

Другая версия — диалектная. В некоторых говорах «бербень» или «бербеня» означало нечто болтливое, несерьёзное, а также могло быть искажением слова «вербень» (верба). Но здесь корень «берб-» звучит скорее как антропонимический реликт, а не живое слово. Важно: фамилия не имеет отношения к немецкому или еврейскому «бербер» (парикмахер) — окончание -цов однозначно указывает на русскую патронимическую модель.

Географически Бербенцовы тяготеют к северо-западу России: Псковская, Новгородская, Тверская области. В дореволюционных источниках фамилия встречается редко, в основном среди крестьян и мещан. Суффикс -цов, а не -ов, говорит о том, что прозвище Бербенец было нередким — иначе форму притяжательного прилагательного сделали бы напрямую от Бербень (Бербенев). А здесь мы видим цепочку: Бербенец → Бербенцов, что типично для фамилий, образованных от прозвищ с суффиксом -ец (ср. Кузнецов, Плетенцов, Стрельцов).

Если у вас есть семейное предание, что предки были из Псковской губернии, это подтверждает топонимическую версию. Если же нет — остаётся догадка, что прозвище Бербенец могло быть шутливым: так могли назвать человека, который «бербенит» (тараторит, болтает без умолку). Но в любом случае фамилия — живое свидетельство того, как забытые местные словечки и названия превращались в родовые имена.