Фамилия Берецкая — женская форма, производная от мужской фамилии Берецкий. Чтобы понять её происхождение, нужно разобрать словообразовательную модель. Суффикс -цк- (в варианте -ецк-) указывает на географическое происхождение: такую фамилию обычно давали человеку, который был родом из населённого пункта с названием Берец, Берецк или подобным. В основе лежит корень «бер-», который в топонимике часто связан с берёзой или берёзовым лесом. Например, в Польше и Западной Украине есть сёла Берець, Берецко, а также город Берестя (ныне Брест). Таким образом, предок носительницы фамилии Берецкая мог быть выходцем из такого места.

Менее вероятна, но возможна версия, что фамилия образована от прозвища Берец — человека, занимавшегося берестой (сбором коры для плетения или изготовления дегтя). В этом случае суффикс -цк- выполнял бы не топонимическую, а патронимическую функцию, но для русской ономастики это нетипично: прозвища с таким суффиксом скорее указывают на место жительства, чем на занятие.

Обратите внимание на написание: окончание -ая (а не -а) — это стандартная русская форма для женских фамилий на -ский/-цкий. В украинском или польском варианте фамилия звучала бы как Берецька (с мягким знаком). Сословно фамилия Берецкая могла принадлежать как шляхте (если предок был выходцем из польской или западнорусской знати, владевшей землёй в селе Берец), так и крестьянам или мещанам, получившим фамилию по месту рождения после отмены крепостного права. Однозначно сказать, не зная конкретной генеалогии, нельзя.

Если искать однокоренные фамилии, то Берецкий стоит в одном ряду с Березин, Березовский, Бережной — все они так или иначе крутятся вокруг берёзы, но различаются суффиксами и историей. Берецкая — более редкая и локальная, чем, скажем, Березовская, что делает её ценной для тех, кто хочет сузить круг поиска предков до конкретного региона.