Фамилия Березивськая — это редкий случай, когда географическое название и словообразовательная модель «спорят» друг с другом, указывая на разное происхождение. Начнём с конца: суффикс -ськ- (в украинском варианте) или -ск- (в русском) ясно говорит, что перед нами «топонимическая» фамилия, то есть образованная от названия места. Такие фамилии в XVI–XIX веках получали дворяне по своим имениям, а также священники и мещане — по месту рождения или службы. Но вот основа «Березив» не так однозначна.

Первая и самая вероятная версия: фамилия происходит от украинского топонима Березова, Березівка или Березів. На Украине десятки сёл и хуторов с такими названиями — в Волынской, Ровенской, Хмельницкой, Житомирской областях. Житель или владелец такого села получал прозвание «Березівський», которое со временем закрепилось как фамилия. Окончание -ая (Березивськая) указывает на женскую форму, но в русской традиции XIX века так могли записать и мужчину (например, в метриках нередко писали «такая-то Березивская» по ошибке или по правилам склонения).

Вторая, менее очевидная, но правдоподобная гипотеза — связь с прозвищем «Береза» или «Березовый». В древнерусской и украинской ономастике прозвища по деревьям были распространены: Береза, Березка, Березняк. От них образовывали фамилии с суффиксом -овский/-евский (Березовский, Березинский). Форма «Березивський» могла возникнуть как диалектный или фонетический вариант: в некоторых говорах «Березовский» произносили как «Березивський» (с переходом «о» в «и» под ударением или редукцией). Однако такая версия менее надёжна, потому что суффикс -ивськ- типичен именно для топонимов, а не для прозвищ.

Обратите внимание на написание: через «и» (Березивськая), а не через «е» (Березовская). Это характерно для украинской орфографии, где после шипящих и «р» в корне часто пишут «и» (Березив — от Березова). Если бы фамилия была исконно русской, мы бы увидели «Березовская». Значит, корни фамилии — в украинской среде, скорее всего, с Правобережной Украины или Волыни.

О сословии носителей сказать сложно без конкретных данных. Топонимические фамилии на -ський в Украине носили не только дворяне (шляхта), но и казацкая старшина, и духовенство. В XIX веке такие фамилии часто давали крестьянам при переписи — по названию села, где они жили. Поэтому предки могли быть и мелкими землевладельцами, и сельскими священниками, и просто крестьянами.

Итог: Березивськая — это женская форма фамилии, образованной от украинского географического названия (Березів, Березова). Она указывает на происхождение семьи из местности с таким именем, вероятно, на западе или в центре Украины. Если хотите узнать точнее, стоит поискать в метрических книгах Волынской, Подольской или Киевской губерний — там эта фамилия встречается чаще всего.