Фамилия Берина — это форма женского рода, но её основа мужская: она образовалась от имени или прозвища Бера. В старину на Руси бытовало мирское имя Бера (или Бер), и у него как минимум два возможных корня, и оба заслуживают внимания.

Первый и самый вероятный вариант — славянский. Корень «бер» в древности означал «оберегатель», «сберегатель», то есть человека, который защищает. Позже это же слово стало обозначать медведя — тотемного зверя, который у славян считался защитником племени. Медведь был не просто зверем, а символом силы, добродушия и материнской заботы. Называя сына Берой, родители как бы вверяли его природе, надеясь, что от тотемного животного к ребёнку перейдут его лучшие качества. След этого значения остался в русском слове «берлога» — буквально «жилище медведя».

Вторая версия — еврейская. В этом случае имя Бера (или Бер) означает «мой колодец» и восходит к древнееврейскому корню. Встречается оно в еврейской среде, особенно в восточноевропейских общинах, и могло попасть в русские фамилии через смешанные браки или миграцию. Эта гипотеза менее распространена для исконно русских фамилий, но вполне реальна для отдельных ветвей рода.

Фамилия Берина образована по простой модели: к основе Бера добавили суффикс -ин, который в русском языке отвечает на вопрос «чей?» и указывает на принадлежность. То есть Берин — это «сын Бе́ры». Женская форма Берина закрепилась в документах, когда речь шла о женщине или о всей семье в целом.

Географически фамилия встречается в центральных и северных областях России, где были сильны традиции мирских имён, а также в регионах с еврейским населением. Сословной привязки нет: Берины могли быть и крестьянами, и мещанами, и духовенством — имя Бера не было прерогативой какого-то одного слоя.

Если коротко: фамилия Берина — это отчество от древнего имени, которое либо оберегало ребёнка силой тотемного медведя, либо указывало на «колодец» как источник жизни. Какой из корней сработал в вашем случае — зависит от семейной истории, но оба варианта имеют под собой реальную языковую почву.