Фамилия Берташ — редкий пример того, как в одном слове могли пересечься совершенно разные языковые традиции, и разобраться здесь стоит не столько в «общем значении», сколько в конкретной модели образования. Скорее всего, перед нами прозвище, а не крестильное имя, и его основа указывает на занятие или внешнюю особенность предка.

Самая прямая версия ведёт к украинскому слову «берта» — в эпоху романтизма так называли широкую оборку на платье по линии декольте. Если это так, то прозвище Берташ мог получить портной, специализировавшийся на женских нарядах, или, что не менее вероятно, сам щеголь, носивший одежду с пышными отделками. Суффикс -аш в украинской и южнорусской антропонимии часто придавал прозвищу оттенок фамильярности или принадлежности к ремеслу (сравните: Головаш, Ковальчук, Бортник). То есть Берташ — это не просто «тот, кто шьёт берты», а скорее «человек, для которого берта стала характерной приметой».

Вторая гипотеза отсылает к тюркскому корню. Татарское «бертас» (или «берташ») означает «голавль» — пресноводную рыбу из семейства карповых. У многих народов, в том числе у татар и башкир, было принято давать прозвища по названиям рыб, зверей или птиц. В этом случае Берташем могли прозвать либо рыбака, промышлявшего голавлей, либо человека, которого с этой рыбой сравнивали по внешности или повадкам (например, за крупную голову или юркость). В пользу этой версии говорит то, что фамилия встречается в регионах Поволжья и Приуралья, где тюркское влияние на русские и украинские фамилии было особенно сильным.

Обе версии не противоречат друг другу географически: фамилия Берташ фиксируется и в украинских областях (где было развито портновское дело), и в татароязычной среде. Выбрать одну из них без генеалогического исследования сложно, но тюркская версия выглядит чуть правдоподобнее хотя бы потому, что слово «берта» в значении «оборка» — узкий термин, вошедший в обиход лишь в XIX веке, тогда как прозвища по рыбам — архаичный, общеславянский и тюркский пласт.

Словообразовательно фамилия проста: основа Берташ + нулевой суффикс, то есть она сохранила прозвищную форму без дополнительных патронимических суффиксов (-ов, -ин). Такие «неоформленные» фамилии нередки у украинцев, белорусов и южных русских. В официальных документах XIX века Берташ мог писаться как Берташъ, а в более ранних записях — с вариантами Берташев (если фамилию русифицировали).

Итог: ваш предок мог быть либо украинским портным, либо татарским или русским рыбаком, либо человеком, получившим прозвище по рыбе. Точный ответ даст только работа с архивными записями по региону — ищите фамилию в метрических книгах Черниговской, Полтавской губерний или в документах Казанской и Оренбургской областей.