Фамилия Беседков — один из тех случаев, когда за привычным звучанием скрывается неочевидная история. Словообразовательная модель подсказывает: перед нами отчество второго порядка. То есть Беседков — это сын Беседко и внук человека по прозвищу Беседа. Суффикс -ов здесь стандартный патронимический, а основа указывает на два возможных, и довольно разных, занятия предка.

Первый вариант: прозвище Беседа получил любитель поговорить, краснослов, а то и наставник, который в разговоре поучал других. В старину так могли называть и проповедников. О популярности «говорящих» прозвищ напоминают пословицы: «Красно поле пшеном, а беседа умом» или «В чужой беседе всяк ума купит» — они показывают, насколько ценили это качество.

Вторая версия менее очевидна, но не менее правдоподобна. Если в основе лежит слово «беседка», то прозвище Беседко могло указывать на профессию: предок занимался строительством крытых садовых построек для отдыха. В отличие от первой версии, здесь мы имеем дело не с чертой характера, а с ремеслом, что для русских фамилий не редкость.

Однокоренные именования встречаются в документах XVI века. Историк С. Б. Веселовский упоминает родственные прозвища: Беседнов Александр Михайлович (1540 год, Вологда) и Беседный Караул Степанович (1582 год, Вологда). Оба случая привязаны к Вологде, что позволяет предположить северное или северо-восточное происхождение фамилии Беседков. Вологда в те времена была крупным торговым и ремесленным центром, где могли жить и говорливые «беседы», и строители беседок.

Какая из версий верна для вашей семьи — сказать трудно. Но обе укладываются в логику образования русских фамилий: от личного прозвища или от названия занятия.