Фамилия Беймук — редкий случай, когда носитель фамилии — почти наверняка потомок выходца из тюркской языковой среды, но сама фамилия оформлена по украинской или польской модели. Разберем по порядку.

Основа «бей» — хорошо известный тюркский титул, означающий «господин», «князь», «владыка». В османской и крымскотатарской иерархии так называли военачальников и знатных людей. Вторая часть, «мук», — это искаженное тюркское слово «мук» или «мюк», которое может означать «печать», «знак», либо же быть частью составного имени. Однако правдоподобнее видеть здесь адаптацию слова «бей» с добавлением компонента, который в тюркских языках мог звучать как «бей-мухаммед» или «бей-мурат», где «мук» — это стяжение от «Мухаммед» или «Мурат». В таком случае исходное имя звучало как Беймухаммед или Беймурат, а в бытовой речи сократилось до Беймук.

Суффикс нулевой — фамилия не имеет типичных русских окончаний -ов, -ин, -ский. Это указывает на украинское или польское происхождение оформления: в этих традициях фамилии на -ук, -юк, -ак, -ок часто образовывались от прозвищ или имен без дополнительных патронимических суффиксов. Беймук могло быть прозвищем человека, которого в селе называли «бей» за важность или за то, что он служил у бея, а затем к прозвищу добавили типичный украинский суффикс -ук, который со временем редуцировался до -ук (Беймук). Либо фамилия застыла в форме прямого заимствования тюркского имени.

Географически фамилия Беймук встречается почти исключительно на юге Украины и в приграничных с Крымом областях — Одесская, Николаевская, Запорожская области, а также среди потомков крымских татар, переселившихся в Турцию или Румынию. В России фамилия крайне редка.

Таким образом, предки Беймуков — скорее всего, выходцы из тюркской среды (крымские татары, ногайцы, турки), которые в XVIII–XIX веках перешли в оседлость на украинских землях и получили фамилию по имени или прозвищу родоначальника, связанному с титулом «бей». Фамилия — живое напоминание о контактах славянского и тюркского миров, где статусный титул стал личным именем, а затем и родовым прозванием.