Фамилия Безбабичева — редкий пример русской фамилии, в основе которой лежит не профессия или личное имя, а бытовая характеристика, причём с явным оттенком иронии или самоиронии. Она образована от прозвища Безбабич. Разберём его: первая часть — «без», вторая — «баба» (в значении «женщина, жена»). Суффикс «-ич» указывает на принадлежность к роду или характерный признак. Таким образом, Безбабич — это человек, у которого нет жены, то есть холостяк, вдовец или, в переносном смысле, тот, кто сторонятся женщин. В русской ономастике модель «без- + существительное» давала прозвища по отсутствию чего-либо: Безруков, Безносов, Безбородов. Безбабичев стоит в этом же ряду, но с более социальным, а не физическим оттенком.

Окончание «-ева» — это стандартный русский патронимический суффикс, который превращает прозвище в фамилию: «чей?» — Безбабичев, то есть сын или потомок Безбабича. Женская форма Безбабичева — естественное склонение по роду. Встречаемость фамилии крайне низкая, и в исторических документах она почти не фиксируется. Это говорит о том, что прозвище могло быть локальным, деревенским, не попавшим в дворянские родословные книги. Вероятнее всего, предок носителя фамилии жил в центральной или южной России, где такие прозвища были в ходу среди крестьян и казаков.

Интересно, что фамилия не имеет отрицательного оттенка в современном языке — она скорее курьёзна, как и многие «отрицательные» фамилии (Безобразов, Неустроев). В старину прозвище Безбабич могли дать не в насмешку, а по факту: например, одинокому мужчине, который не женился после смерти жены или просто вёл замкнутый образ жизни. В словаре русских фамилий Б. Унбегауна подобные модели разобраны как типичные для простонародной среды. Если ваша фамилия Безбабичева, то её носители, скорее всего, происходят из крестьянской или мещанской среды, где прозвища были живыми и точными, а не заимствованными из календарей.