Фамилия Бежки — редкий пример того, как прозвище застыло в форме, нехарактерной для русской ономастики. В основе лежит прилагательное Бежкий, образованное от глагола «бежать» или «бегать». Так в старину могли назвать человека проворного, быстроногого — того, кто «бежко» ходил, то есть скоро, резво.

Однако за бытовым прозвищем часто стояла конкретная профессия. С середины XIV века на Руси существовала должность гонца — пешего посыльного, доставлявшего княжеские указы, письма и распоряжения. Слово «гонец» продержалось в официальном обиходе до начала XVIII века, когда его вытеснили курьер и фельдъегерь. Прозвище Бежкий вполне могло закрепиться за таким служилым человеком: «бежкий» значило не просто быстрый, а тот, чья работа — постоянно быть в пути.

Сама фамилия Бежки — это форма множественного числа родительного падежа: «из семьи Бежких». Утрата конечного «й» в основе (Бежкий → Бежки) — верный признак украинского или южнорусского влияния. В украинской традиции фамилии на -ко (Бежко, Беженко) встречаются часто, а форма Бежки могла возникнуть как её усечённый или русифицированный вариант. Так что географически корни фамилии стоит искать в пограничье русских и украинских земель — на Слобожанщине, в Курской или Воронежской губерниях.

Других версий происхождения у фамилии нет: ни тюркских, ни финно-угорских корней у «бежкого» не обнаруживается. Это чисто славянское именование по скорости или роду занятий, которое со временем превратилось в фамилию и сохранилось в форме, подсказывающей, где именно жили предки её носителей.