Фамилия Бежки, вероятно, образована от прозвища Бежкий, которое восходит к глаголу «бежать» (или «бегать»). Скорее всего, так называли человека, который очень быстро ходил или хорошо бегал. Не исключено, что прозвище Бежкий относится к так называемым «профессиональным» именованиям, указывающим на род деятельности человека. Так, предок обладателя фамилии Бежки мог быть гонцом, то есть пешим человеком, доставляющим известия, распоряжения, письма. В России слово «гонец» распространилось с середины ХIV века и использовалось до начала ХVIII века, когда ему на смену пришли слова курьер и фельдъегерь. Утрата конечного «й» может объясняться украинским влиянием. Таким образом, потомок человека, обладающего прозвищем Бежкий, со временем получил фамилию Бежки.