Фамилия Бежкин образована от прозвища или имени Бежка. Основа здесь — корень «беж-», который в русских говорах имел несколько значений. Самое вероятное: «бежка» — беглец, тот, кто спасается бегством, дезертир или беглый крестьянин. В старину так могли прозвать человека, который ушёл от хозяина, от рекрутчины или от наказания. Второй вариант: «бежка» — подвижный, непоседливый, быстрый на ногу, от глагола «бежать». Третья, менее надёжная версия: от диалектного «бежка» — вид рыбы или птицы, но это привязано к узкой местности.

Суффикс -ин указывает на модель «чей?»: Бежкин — сын Бежки. Такие фамилии в XVI–XVII веках чаще всего получали крестьяне и посадские люди. Дворянские фамилии с -ин обычно образовывались от полных крестильных имён (Пушкин от Пушка), а здесь основа — прозвище, что говорит о простонародном происхождении.

Фамилия редкая. Встречается в центральных областях России — в Тверской, Ярославской, Костромской губерниях, где диалектное слово «бежка» было в ходу. В писцовых книгах XVII века можно найти упоминания крестьян Бежковых и Бежениных, но Бежкин — отдельная ветвь, с более короткой основой.

Похожая по корню фамилия Бежанов образована от тюркского имени Бежан, но Бежкин — однозначно русская, славянская. Если ваши предки носили её, скорее всего, они были крестьянами или ремесленниками, а родоначальник получил прозвище за резвый нрав или за то, что однажды пустился в бега.