Фамилия Бежкинев — редкий случай, где сложность написания сразу выдаёт иноязычную основу. В русском языке нет исконного корня «бежкин-», и суффикс «-ев» здесь лишь адаптирует фамилию к привычной модели склонения. Скорее всего, перед нами русифицированная форма тюркской фамилии, бытовавшей у народов Поволжья, Северного Кавказа или Средней Азии.

Разбираем основу. Если отбросить русский суффикс «-ев», остаётся «Бежкин». В тюркских языках корень «беж» или «беш» означает «пять» (ср. татарское «биш», казахское «бес»). Однако напрямую фамилию от числительного не образовывали — скорее, это вариант имени Бишкен (Бешкен), где «кен» — распространённый компонент со значением «широкий», «просторный» или же уменьшительный суффикс. Таким образом, Бишкен могло быть личным именем со значением «пятый ребёнок» или «рождённый в пятницу» (у некоторых народов пятница — священный день). Позже это имя превратилось в фамилию, а при переселении в русскоязычную среду добавили типовое окончание «-ев» и заменили «ш» на «ж» под влиянием местного произношения.

Вторая версия связывает фамилию с этнонимом. У башкир и татар есть род «бежан» или «бежень» — одно из племенных подразделений. Предок мог получить прозвище Бежкин по названию рода, а потомки оформили его в фамилию. В пользу этого говорит то, что фамилии на «-ин» от тюркских этнонимов встречаются у русских дворян и однодворцев южных губерний, где издавна селились выходцы из Орды.

Географически фамилия Бежкинев встречается в рассеянном виде по всей России, но чуть чаще в Башкортостане, Татарстане и Оренбургской области — как раз в зоне исторического смешения тюркских и русских фамилий. Носители, как правило, потомки крещёных татар или башкир, которые в XVIII–XIX веках переходили в православие и получали фамилии по имени отца или прозвищу. Социальный статус предков был разным: от рядовых крестьян до служилых людей (тептярей, бобылей).

Итог: Бежкинев — это русифицированная тюркская фамилия, образованная от личного имени или родового прозвища. Корень связан либо с числом «пять», либо с этнонимом, а суффикс «-ев» — чисто русская добавка, сделанная для удобства склонения.