Фамилия Бежков — редкий случай, когда суффикс -ов крепится к основе, которая сама по себе звучит как фамилия: Бежко. В русской ономастике это так называемая «фамилия от фамилии»: сначала возникло прозвище или уменьшительное имя Бежко, а уже от него по модели «чей сын?» образовали Бежков. Суффикс -ко в белорусской, украинской и южнорусской традиции — типичный признак уменьшительности или принадлежности (ср. Шевченко, Ковалько). Поэтому Бежков — это, скорее всего, «сын Бежка», то есть потомок человека с прозвищем Бежко.

Корень беж- прозрачен и отсылает к глаголу «бежать». Но вряд ли предок был просто бегуном. В диалектах и исторических документах «бежкой» могли называть беглого крестьянина, перебежчика или человека, который часто менял место жительства. В северных и сибирских говорах «бежь» означала бегство, а «бежко» — того, кто спасается бегством. Учитывая, что фамилия встречается в основном в центральных и южных регионах России (Курская, Воронежская области), а также на Украине, логично предположить: прозвище давали человеку, который либо пришёл из других мест, либо имел репутацию непоседы.

Есть и более спорная версия — от тюркского «беж» (пять) или «беш» (пять, пятый). Она могла бы объяснить фамилию в среде казачества или в регионах с татарским влиянием, но для этого нужна промежуточная форма Бешков, а не Бежков. Звук «ж» вместо «ш» в тюркских заимствованиях редок, поэтому эта гипотеза слабая. Вероятнее, что основа исконно славянская, и фамилия Бежков входит в гнездо однокоренных: Бежко, Бежанов, Бежев, Беженцев.

В писцовых книгах XVI–XVII веков фамилия не зафиксирована — это говорит о её относительно позднем оформлении. Скорее всего, она сложилась уже после отмены местничества, когда крестьяне и посадские люди массово получали фамилии по прозвищам. Бежковы — не дворянский род, а фамилия простого сословия: крестьян, однодворцев, ремесленников. Сегодня она остаётся малочисленной, и найти её носителей проще всего в Курской и Белгородской областях, а также среди потомков переселенцев в Сибири.